Problemele de categoria A se disting prin faptul că în ele sunt prezentate două (uneori trei) mărimi caracterizae în două (respectiv trei) situaţii diferite, existând de fiecare dată un element de legăatură între mărimi.

            Exemplu:   Pentru 3 pixuri şi 6 stilouri s-au platit 135 000 lei, iar

                            Pentru 3 pixuri şi 4 stilouri s-au plătit 95 000 lei.  Cât costă un pix şi cât costă un stilou ?          

În această problemă se disting:  - cele doua mărimi: pixuri şi stilouri - două situaţii diferite: 

• a) 3 pixuri şi 6 stilouri
• b) 3 pixuri şi 4 stilouri
• elementul de legătură între mărimi (în fapt o altă mărime)
• valoarea cumulată a pixurilor şi stilourilor în fiecare din cele două situaţii: - 135 000 lei şi respectiv 95 000 lei.

Cele două mărimi pot fi :

• lucruri (rigle şi creioane, cărţi şi caiete, stofă şi mătase)
• fiinţe (cai şi vaci, capre şi oi)
• fructe (mere şî pere, struguri şi prune)
• figuri geometrice (triunghiuri şi pătrate)

        Valorile atribuite unei mărimi în situaţii diferite sunt diferite (cel puţin pentru una din mărimi). În cazul nostru diferă doar valorile numerice atribuite mărimii „stilouri”, mărimea „pixuri” păstrând aceeaşi valoare numerică în cele două situaţii prezentate.

        Procedeul de „eliminare prin reducere” constă în eliminarea uneia dintre mărimi care are, sau ajunge să aibă, valori identice în situaţii diferite. Scrierea datelor unele sub altele, conform enunţului, aşa încât ele să poată fi uşor comparate, este de mare importanţă.

       Pentru a ilustra aplicarea acestui procedeu vom rezolva problema enunţului mai sus. Scrierea datelor:

3 pixuri .................... 6 stilori ....................135 000 lei

3 pixuri .................... 4 stilouri ....................95 000 lei

       Din compararea datelor se observă că numărul pixurilor este acelaşi şi, deci, diferenţa de valoare se datorează numai deferenţei dintre numărul de stilouri cumpărat prima dată şi numărul de stilouri cumpărat a doua oară.

       Aşadar eliminăm pixurile şi obţinem:

2 stilouri .................... 40 000 lei , de unde rezultă 1 stilou .................... 40 000: 2 = 20 000 lei

În continuare rezolvarea devine simplă:

Se calculează, într-una dintre situaţii, valoarea stilourilor:

6 x 20 000 = 120 000 (lei costă 6 stilouri)

      Se face diferenţa pentru a afla cât costă pixurile:  135 000 – 120 000 = 15 000 (lei costă 3 pixuri) Se calculează preţul unui pix:  15 000: 3 = 5000 lei.

      În cazul problemelor de categoria B, compararea mărimior conduce la înlocuirea unei mărimi necunoscute cu alta, reducându-se astfel numărul de necunoscute. Comparaţia duce la observaţia existenţei unei relaţii între cele două mărimi exprimată prin diferenţa valorilor ce li se atribuie sau prin raportul acestor valori.

Exemplu:                   

Pentru 3 creioane şi 2 stilouri s-au plătit 46 000 lei.  

Cât costă un stilou şi cât costă un creion dacă un stilou costă cât 10 creioane ?

            Rezolvare:      3 creioane ..................... 2 stilouri ...................... 46 000 lei

                                 3 creioane .................... 20 creioane ................... 46 000 lei

                               23 creioane ..........................................................46 000 lei

                                1 creion .................................................. 46 000: 23 = 2 000 lei

                                1 stilou ................................................... 2 000 x 10 = 20 000 lei 

      Există situaţii când, în încercarea de a „debloca” rezolvarea unei probleme, ne întrebăm ce consecinţe ar produce modificarea unora din datele iniţiale. Comparând aceste consecinţe cu enuntul problemei, sesizam anumite nepotriviri şi încercăm să aflăm cauzele lor. Odată aflate cauzele, putem stabili şi drumul spre rezolvare.

      Numărul ipotezelor (al presupunerilor) este variabil şi depinde de complexitatea problemei. La limită, şi rezolvarea prin încercări, care presupune cercetarea situaţiilor create prin atribuirea tuturor valorilor posibile mărimilor necunoscute (uneori însoţită de justificarea logică a renunţării la anumite valori) se încadrează în această metodă.

1. Într-un parc se plimbau 15 copii cu biciclete şi triciclete care au în total 39 roţi. Câţi copii se plimbau cu biciclete?

Presupunem că cei 15 copii se plimbau doar pe biciclete. Acestea ar avea: 15 roţi x 2 = 30 roţi Constatam că în felul acesta nu au fost luate în considerare: 

39 roţi – 30 roţi = 9 roţi

De ce ? Pentru că la fiecare tricicletă s-a neglijat :

3 roţi – 2 roţi = 1 roată

De câte ori s-a întâmplat aşa ceva ?

De 9: 1 = 9 ori

Deducem că există 9 triciclete. Aflăm apoi că există

15 – 9 = 6 biciclete

Răspuns: 6 biciclete

2. Un turist urcă pe munte cu viteza de 3 km/h şi coboară cu viteza de 5 km/h. ştiind că deplasarea dus-întors a durat 8 ore (excluzând timpul pentru staţionarea din varf) să se afle ce distanţă a parcurs turistul.

Să speram că duratele deplasării la dus şi respectiv la întors sunt numere naturale. În acest caz numărul de km parcurşi la urcare (egal cu cel de la coborâre) se împarte exact la 5 şi la 3. Să presupunem că la urcare sunt 30 km şi la coborâre tot atat. Atunci durata totală a deplasării este: 

30: 3 + 30: 5 = 16 (ore)

Adică de două ori mai mult decât în realitate. Înseamnă că de fapt sunt 

30: 2 = 15 km şi verificând constatăm că

3 + 15: 5 = 8 ore, ceea ce confirmă că d = 15 km.

3. Un copil cumpără 15 caiete de 5 000 lei, 7 000 lei şi respectiv, 10 000 lei, plătind 117 000. Numărul caietelor de 10 000 lei este de două ori mai mare decât al celor de 5 000 lei. Câte caiete sunt de fiecare fel?

5 000 + 2 x 10 000 = 25 000 lei (costă o grupă formată dintr-un caiet de 5 000 lei şi 2 caiete de 10 000 lei)

7 000 x 15 = 105 000 (lei ar costa caietele dacă toate ar fi de 7 000 lei/buc)

117 000 lei – 105 000 = 12 000 (lei s-ar economisi)

25 000 lei – 3 x 7 000 lei = 4 000 (lei s-ar economisi la fiecare grupă formată dintr-un caiet de 5 000 lei şi 2 caiete de 10 000 lei.

12 000: 4 000 = 3 (grupe formate din 2 caiete de 10 000 lei/buc şi 1 caiet de 5 000 lei buc)

15 caiete – 3x3 caiete = 6 (caiete de 7 000 lei bucata)

3 x 1 = 3 (caiete de 5 000 lei bucata)

3 x 2 = 6 (caiete de 10 000 lei bucata)

      În general o problemă din această categorie are ca cerinţă aflarea valorii iniţiale a unei mărimi, valoare ce a fost supusă unor modificări succesive, prezentate în text, rezultatul final al acestor modificări fiind cunoscut. Este vorba deci de alfarea unui număr nucunoscut asupra căruia s-au efectuat anumite operaţii al căror rezultat este cunoscut.

     Analizând textul problemei vom constata că pentru rezolvarea ei pornim de la ultima valoare cunoscută şi aflăm succesiv valorile premergătoare ei până ajungem să aflăm valoarea iniţială. Dacă textul segerează anumite oparaţii, într-o anumită ordine pentru rezolvarea problemei vom efectua de regulă operaţii inverse celor indicate de text şi în ordinea inversă ordinii din text.

1. M-am gândit la un număr, l-am împărţit la 4, la rezultat am adunat 8 iar din suma obţinută înjumătăţită am scăzut 5 şi apoi am înmulţit cu 2 obţinând 18. La ce număr m-am gândit?

Vom transforma problema compusă într-o succesiune de probleme simple:

„Ce număr înmulţim cu 2 ca să obţinem 18 ?” 18: 2 = 9

„Din ce număr scădem 5 ca să obţinem 9 ?” 9 + 5 = 14

„Ce număr înjumătăţim ca să obţinem 14 ?” 14 x 2 = 28

„Ce număr adunăm cu 8 ca să obţinem 28 ?” 28 – 8 = 20

„Ce număr împărţim la 4 ca să obţinem 20 ?” 20 x 4 = 80

Observaţie: Problema poate fi reprezentată sub formă de exerciţiu astfel:

x 2 = 18, la care avem rezolvarea cu rezultatul x = 80.

Este şi motivul pentru care în rezolvarea unor astfel de probleme se spune că se foloseşte metoda mersului invers, ceea ce în multe situaţii este şi adevărat.

Mama lasă într-o farfurie prune pentru cei trei copii ai săi. Fiecare vine şi, neştiind dacă ceilalţi au venit şi au consumat din fructele lăsate de mama, consumă o treime din prunele pe care le găseşte. Când vine mama constată că fiecare copil a mâncat prune şi că au rămas 8 prune. Câte prune au fost la început ?

Rezolvare: 

8: 2 = 4 (prune, reprezintă 1/3 din ce a găsit al III-lea)

4 x 3 =12 (prune, a lăsat al II-lea)

164: 2 = 6 (prune, 1/3 din ce a găsit al II-lea)

6 x 3 = 18 (prune, a lăsat primul)

18: 2 = 9 (prune, 1/3 din ce a găsit primul) 9 x 3 = 27 (prune, a găsit primul copil)

Formularea acestei probleme, destul de des întâlnită la problemele din această categorie îndreptăţeşte denumirea de „probleme de rest din rest” care mai este folosită la astfel de probleme.

3. Mergând în excursie un copil cheltuieşte a şaptea parte din banii pe care-i avea şi încă 20 000 lei în prima zi. A doua zi cheltuieşte o pătrime din rest şi încă 20 000 lei iar a treia zi cheltuieşte două cincimi din noul rest şi încă 10 000 lei şi-i mai rămân 50 000 lei. Ce sumă a avut copilul la început?

Dacă în prima zi se cheltuia numai 1/7 din sumă aveam :

Cum s-au cheltuit şi cei 20 000, după a doua zi, dacă ar fi cheltuit numai ¼ din rest ar fi avut:

Cheltuindu-se şi cei 20 000 lei a doua zi, dacă în a III-a zi se cheltuia numai 2/5 din ultimul rest am fi avut: 

Rezolvare:

50 000 + 10 000 = 60 000 (lei ar fi rămas dacă în a III-a zi se cheltuia numai 2/5 din rest)

60 000: 3 = 20 000 (lei reprezintă 1/5 din suma ramasă după a II-a zi)

20 000 x 5 = 100 000 (lei rămaşi a II-a zi)

100 000 + 20 000 = 120 000 (lei ar fi rămas dacă a II-a zi se cheltuia numai ¼ din cea rămas după prima zi)

120 000: 3 = 40 000 (lei, ¼ din suma rămasă după prima zi)

40 000 x 4 = 160 000 (suma rămasă după prima zi)

160 000 + 20 000 =180 000 (lei, suma ce ar fi rămas după prima zi dacă cheltuia numai ½ din sumă)

180 000: 6 = 30 000 (lei, 1/7 din suma avută)

30 00 x 7 = 210 000 (lei, suma avută)

Două mărimi care depind una de alta se numesc direct/ invers proporţionale dacă, atunci când una din ele creşte de un număr de ori, cealaltă se micşorează de acelaşi număr de ori. Metoda reducerii la unitate se aplică în rezolvarea problemelor în care se face referire la o mărime ce depinde direct sau invers proporţional de una sau mai multe mărimi.

Metoda constă în evidenţierea numărului de unităţi dintr-o mărime ce corespun d unei unităţi dintr-o altă mărime, numărul respectiv fiind ceea ce numim factor de proporţionalitate.

Alegerea mărimii care va fi redusă la unitate este deosebit de importantă, mai ales la clasele primare, unde unele operaţii nu pot fi efectuate.

1. Cele 210 kg de roşii recoltate într-o zi din grădină sunt ambalate pentru piaţă în 30 de lădiţe.

Câte lădiţe vor fi necesare pentru a ambala în altă zi 350 kg de roşii?

210 kg …………………………..30 lădiţe

350 kg ………………………….. ? lădiţe

Judecata şi rezolvarea:

Dacă în 30 de lădiţe sunt 210 kg de roşii, atunci într-o lădiţă sunt de 30 de ori mai puţine kg, adică:

210 kg: 30 = 7 kg Câte grupe de câte 7 kg se pot forma cu 350 kg?

350 kg: 7 kg/lădiţă = 50 lădiţe

2. 10 caiete costă 48 000 lei. Cât costă 7 caiete ?

10 caiete ………………………….. 48 000 lei 7 caiete   ………………………….. ? lei

Rezolvare: 

48 000: 10 = 4 800 (lei, costă un caiet)

4 800 x 7 = 33 600 (lei, costă 7 caiete)

Observaţie: de regulă reducem la unitate o mărime cunoscută, ca în problema rezolvată mai sus, dar sunt şi situaţii când reducem la unitate mărimea în care intervine necunoscuta, ca în problema rezolvată 1.

3. 15 muncitori pot termina o lucrare în 8 zile. În câte zile ar termina lucrarea 6 muncitori care muncesc în acelaşi ritm mediu ca ceilalţi 15 ?

15 muncitori ………………………….. 8 zile 6 muncitori  ………………………….. ? zile

Judecata şi rezolvarea:

Dacă 15 muncitori pot termina o lucrare în 8 zile, atunci un muncitor ar termina-o în de 15 ori mai multe zile :

15 x 8 = 120 (zile)

Dacă un muncitor termină lucrarea în 120 zile, atunci 6 muncitori ar termina lucrarea în de 6 ori mai puţine zile :

120: 6 = 20 (zile)

Aceeaşi problemă poate fi abordată şi în alt mod:

Acceptând că realizează zilnic aceeaşi parte din lucrare – pe care o numim normă – atunci 15 muncitori realizează într-o zi 15 norme, iar în 8 zile realizează:

15 norme x 8 = 120 norme

• lucrători realizează într-o zi 6 norme. În câte zile vor realiza ei 120 norme ? Obţinem acest rezultat dacă aflăm de câte ori se cuprinde 6 în 120 :

120 norme: 6 norme/zi = 20 zile

4. 20 de robinete cu acelaşi debit sunt deschise pentru a evacua în 30 de minute apa dintr-un bazin. După 10 minute, 4 robinete se defectează şi sunt închise. Care este, în aceste condiţii, durata totală de golire a bazinului?

           După 10 minute:           20 robinete …………….20 minute ……………. rest bazin

                                                               16 robinete …………….  ? minute ……………. rest bazin

            Rezolvare:                     20 robinete ……………. 20 minute ……………. rest bazin

                                                               1 robinet ………20 min x 20 = 400 min…….....rest bazin

16 robinete …….400 min: 16 = 25 min ……..rest bazin

25 min + 10 min = 35 min (durata totală)

5. În 6 zile, 100 vite consumă 6000 kg de furaj. În câte zile 120 de vite vor consuma 9 600 kg de furaj ?

• zile ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg

     ? zile ……………. 120 vite ……………. 9 600 kg

Rezolvare:

6 zile ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg

1 zi ……………. 100 vite ……………. 6 000 kg: 6 = 1 000kg

1 zi ……………. 1 vită ……………. 1 000 kg: 100 = 10 kg

1 zi …………….120 vite ……………. 10 kg x 120 = 1 200 kg 9 600 kg: 1 200 kg / zi = 8 zile ………….120 vite …………….9 600 kg.

Metode particulare – rezolvarea problemelor tipice

Prin problemă tipică înţelegem construcţia matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui algoritm specific fiecărui tip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care s-a stabilit tipul şi ne aflăm în posesia algoritmului de rezolvare.

1. Metoda figurativă 

Conţinutul unor probleme pare foarte încurcat. Apare necesitatea unei reformulări schematice care să evidenţieze mai clar relaţiile dintre diferitele mărimi cu care se operează în probleme. Metoda figurativă sau grafică s-a dovedit foaret utilă în acest sens, de-a lungul timpului. Este una din cele mai utilizate metode de rezolvare a problemelor în clasele I – IV.

Ea constă în reprezentarea mărimilor necunoscute prin diferite simboluri, evidenţiindu-se în această reprezentare şi posibilele relaţii existente între mărimile din problemă.

Utilizând pentru reprezentarea mărimilor segmente de dreaptă sau alte figuri geometrice, precum şi scheme ale obiectelor despre care se vorbeşte în probleme, metoda uşurează trecerea de la concret la abstract, netezind calea spre utilizarea metodelor algebrice în rezolvarea problemelor. În aplicarea metodei se ia o mărime drept reper, de regulă cea mai mică, şi se reprezintă celelalte mărimi în funcţie de reper. 

Metoda permite, uneori chiar necesită, formularea de ipoteze referitoare la evoluţia unei situaţii reprezentată iniţial şi la posibilele consecinţe ale unor modificări realizate de rezolvitor, precum unele transferuri sau folosirea unor expresii ca: „îï mai dau eu celui mai mic”, „îi mai iau eu celui mai mare”. Vom exemplifica aplicarea metodei figurative pe câteva tipuri de probleme, cu observaţia că metoda poate fi aplicată şi în alte situaţii, inclusiv ca procedeu în cadrul altei metode.

1.1. Sumă şi diferenţă

În două vase se află 17 litri de lapte. Câţi litri sunt în fiecare vas, dacă în primul sunt cu 5 litri mai mult decât în al doilea?

Egalizarea mărimilor se va face în două feluri:

Scoatem 5 l din vasul mai plin şi atunci rămân cantităţi egale cu cea din vasul mai gol.

17 – 5 = 12 l (de două ori cantitatea din vasul mai gol)

12  2 = 6 l (în vasul mai gol)   6 + 5 = 11 l (în vasul mai plin) 11+ 6 = 17 l (verificare)

Mai punem 5 l în vasul mai gol şi obţinem cantităţi egale cu cea din vasul mai plin.

17 + 5 = 22 l (de 2 ori cantitatea din vasul mai plin)

22: 2 = 11 l (în vasul mai plin)

11 – 5 = 6 l (în vasul mai gol)

11 + 6 = 17 l (verificare)

1.2.  Sumă şi cât

Suma a două numere este 264. Să se afle numerele, ştiind că unul este de 7 ori mai mare/mic decât celălalt.

Din figură se vede că numărul 264 (suma) reprezintă de 8 ori numărul mic, „a”.

268: 8 = 33 (a)

33 x 7 = 231 (b)

33 + 231 (proba)

1.3. Diferenţă şi cât

Într-o livadă sunt cu 456 mai mulţi meri decât peri. Să se afle câţi meri şi câţî peri sunt ştiind că sunt de trei ori mai mulţi meri decât peri.

Din figură se observă că 456 reprezintă de două ori numărul perilor.

456: 2 = 228 (peri)

228 x 3 = 684 (meri)

684 – 228 = 456 (verificare)

1.4. Împărţirea cu rest Constituie un caz particular.

215. Suma a două numere este 215. Câtul împărţirii celui mai mare la cel mai mic este 3, iar restul 7. Care sunt cele două numere?

Din figură se vede că dacă din sumă (215) îl îndepărtăm (scădem) pe 7, obţinem de 4 ori b.

215 – 7 = 208 (4b)

208: 4 =52 (b)

• x 3 + 7 = 163 (a)

163: 52 = 3 rest 7 (verificare)

7. Diferenţa a două numere este 111, iar câtul lor este 3 şi restul 7. Să se afle numerele.

Din figură se observă că dacă îl îndepărtăm pe 7 din diferenţă obţinem de două ori b. 111 – 7 = 104 (2b)

104: 2 = 52 (b)

• x 3 + 7 = 163 (a) 163 – 52 = 111 (verificare) 2.

 Aici aveți imaginile problemelor

            Folosirea metodei analitice presupune plecarea de la întrebarea problemei, descompunerea ei în probleme simple, organizate într-o succesiune logică si rezolvarea acestora să conduca în mod deductiv de la valoarea necunoscută catre valorile cunoscute la formularea răspunsului cerut de problemă.

            Pentru a vedea cum folosim aceste metode vom pleca de la examinarea urmatoarei probleme:

1.  La o ferma viticola lucreaza doua echipe: prima are 10 muncitori care culeg zilnic cate 240 kg de struguri si a doua formata din 12 muncitori care culeg zilnic cate 220 kg de struguri fiecare. Stiind ca pretul unui kg de struguri este de 8000 lei, sa se afle valoarea totala realizata intr-o zi de cele doua echipe.

Examinarea problemei:

Plecând de la întrebarea problemei pentru aflarea valorii totale, trebuie să cunoaștem cantitatea totală de struguri, culeasă de cele două echipe.

Aceasta cantitate se poate afla cunoscand cantitatea de struguri culeasa de prima echipa si cantitatea culeasa de a doua echipa.

Schematic,  va arata astfel: 

Cele două metode generale de examinare, avand la baza cele doua operatii ale gandirii se gasesc intr-o stransa conexiune cauzata de cele doua procedee: analitic si sintetic, care se conditioneaza reciproc.

 Din acest motiv utilizarea acestor doua metode nu poate fi separata total, ci putem avea in anumite momente o tenta dominanta a unei dintre ele, dar in examinarea unei probleme intervin ambele operatii ale procesului de gandire.

 Intr-o problema compusa, descompunerea ei in probleme simple presupune un proces de analiza, iar formularea planului de rezolvare si a succesiunii logice presupune un proces de sinteza.

            Acestea fac ca cele doua metode sa apara sub denumirea de „metoda analitica si sintetica”.

        Schematic, examinarea problemei prin metoda sintetica se poate expune astfel: 

Cu aceasta schema vom transpune enuntarea problemelor simple in care s-a descompus problema, sub forma unui plan de rezolvare:

1. Care este cantitatea de struguri culeasa de prima echipa ? → 240 kg x 10 = 2400 kg
2. Care este cantitatea de struguri culeasa de a doua echipa? → 220 kg x 12 = 2640 kg

3. Care este cantitatea de struguri culeasa de cele doua echipe? → 2400 kg +  2640 kg = 5040 kg

4. Care este valoarea totala realizata de cele doua echipe? → 8000 lei x  5040 = 40320000 lei.

METODA SINTETICA

Folosirea metodei sintetice presupune elaborarea unor rationamente care grupeaza datele dupa relatiile dintre ele, formularea unor probleme simple si asezarea lor intr-o succesiune logica a caror rezolvare sa se incheie cu acea problema simpla, a carei intrebare sa coincida cu intrebarea problemei.

         Planul de rezolvare coincide cu cel realizat la metoda analitica.

        Predarea – invatarea matematicii in ciclul primar nu se poate realiza fara activitatea de rezolvare a problemelor, activitate complexa, de profunzime, in care sunt exersate la nivel superior analiza si sinteza. Activitatea de rezolvare a problemelor imbina eforturile mentale de intelegere a notiunilor invatate, a algoritmilor de calcul formati cu structurile conduitei creative si inventive.

       Notiunea de problema are un continut larg de priceperi si actiuni din domenii diferite. In sens psihologic „o problema” este orice situatie, dificultate, obstacol intampinat de gandire in activitatea practica sau teoretica pentru care nu exista un raspuns gata formulat.

      Activitatea de rezolvare a problemelor pune elevii in situatia de a descoperi singuri modul de rezolvare, de a emite ipoteze si a le verifica, actiuni care sporesc caracterul formativ. Rezolvarea problemelor de matematica contribuie la dezvoltarea capacitatilor creatoare ale gandirii, la sporirea flexibilitatii ei si la educarea perspicacitatii.

      Rezolvarea problemelor de matematica in clasele I-IV reprezinta in esenta, rezolvarea unor situatii problematice reale pe care le putem intalni in practica, in viata. Rezolvarea problemei implica o succesiune de operatii logice, care conduc la solutii. Aceasta succesiune logica nu este altceva decat schema de rezolvare a problemei, firul de judecati oranduite logic, care alcatuiesc rationamentul problemei.

      Problema de matematica reprezinta transpunerea unei situatii practice in relatii cantitative in care intervin valori numerice cunoscute si necunoscute, relatii pe baza carora se solicita determinarea valorilor necunoscute.

      Scopul descoperirii implicatiei ascunse, a necunoscutei, a elaborarii rationale a solutiei, in cazul situatiilor problema, este aplicarea creatoare a cunostintelor si tehnicilor de care dispune rezolvatorul.

      In cautarea caii de rezolvare a problemei se emit si se verifica o serie de ipoteze, pana se ajunge la solutia problemei care reprezinta o sinteza superioara inchiderii circuitului nervos. Schita problemei apare ca un rezultat al efortului gandirii. Procesul de rezolvare a problemelor este un proces analitico-sintetic. Analiza are un caracter general de orientare  asupra continutului problemei.

      Cautarea unor procedee de analiza si sinteza cat mai eficiente, pentru a conduce gandirea elevului pe cai cat mai scurte si mai sigure catre aflarea necunoscutei, constituie una din sarcinile de baza ce-i revin invatatorului.

      Problema impune in rezolvarea ei o activitate de descoperire. Textul problemei indica datele, conditia problemei (relatiile dintre date si necunoscuta) si intrebarea problemei.

      Varietatea si complexitatea problemelor pe care le rezolva elevii sporeste efortul mental si eficienta formativa a activitatii de rezolvare a problemelor. In rezolvarea problemelor intervine o serie de tehnici, procedee, modul de actiune, de deprinderi si activitati de munca intelectuala.  In activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. In fiecare etapa are loc un proces de reorganizare a datelor si de reformulare a problemei, pe baza activitatii de orientare a rezolvatorului pe drumul si in directia solutiei problemei.

      In rezolvarea problemelor de o mare importanta este intelegerea structurii si a logicii rezolvarii ei. Elevul trebuie sa cuprinda in sfera gandirii sale intregul „film” al desfasurarii rationamentului si sa-l retina drept element esential. Pentru generalizarea rationamentului, elevii trebuie sa aiba formate capacitatile si de a intelege datele problemei, de a sesiza conditia problemei si de a orienta logic sirul de judecari catre intrebarea problemei. Pentru rezolvarea corecta a problemei trebuie sa parcurgem urmatoarele etape:

I.                   Cunoasterea enuntului problemei

Aceasta etapa de inceput presupune citirea enuntului problemei, de catre institutor sau elevi de mai multe ori, pana la insusirea corecta. Se pun in evidenta datele si legaturile dintre ele, se scriu pe tabla si in caiet. Elevul care rezolva problema trebuie sa identifice cerinta problemei, adica elementul necunoscut.

II.                Intelegerea enuntului problemei

Deoarece enuntul problemei contine un minim de informatii, el trebuie  optimizat prin delimitarea datelor, prin evidentierea relatiilor dintre ele si stabilirea intrebarii problemei. Aceasta optimizare se realizeaza prin discutii cu elevii. In acest sens se pot folosi si alte mijloace: ilustrarea prin imagini, scheme, grafice, etc.

 Intelegerea enuntului permite generalizarea si abstractizarea prin construirea unei scheme care contine esentialul, eliminand aspectele descriptive.

III.             Analiza problemei si intocmirea planului de rezolvare

In aceasta etapa se descopera calea de rezolvare a problemei,  eliminandu-se elementele nesemnificative si se elaboreaza planul logic de rezolvare. Astfel cel care rezolva problema efectueaza un sir de rationamente care vor duce la alcatuirea problemei simple prin a caror rezolvare se ajunge la raspuns. Examinarea problemei se face prin cele doua metode generale, metoda analitica si metoda sintetica.

IV.             Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare  succesiunii planului de rezolvare

      Din planul de rezolvare elevii aleg si efectueaza calculele constientizand semnificatia fiecarui calcul oral sau scris si realizeaza conexiunile necesare pentru obtinerea rezultatului final. Se va acorda o importanta deosebita redactarii planului de rezolvare, consemnand judecatile intelegand corect unitatile de masura si finalizand cu scrierea rezultatului.

V.                Activități suplimentare

In această etapă se pot concretiza următoarele:

• verificarea solutiei problemei;
• scrierea problemei sub forma de exercitiu;
• depistarea altor variante de rezolvare;
• generalizare;
• compunere de probleme.

      Chiar daca aceasta etapa este facultativa pentru formarea priceperilor  si a deprinderilor corecte de rezolvare a unei probleme este necesara verificarea solutiei deoarece astfel se realizeaza autocontrolul asupra corectitudinii demersului de rezolvare. Aceasta etapa poate fi valorificata de institutor in directia cultivarii creativitatii elevilor si a cresterii interesului pentru matematica.

Modul de prezentare si solutionare a problemelor se va face prin respectarea particularitatilor de varsta de la concret-intuitiv (cum ar fi manipularea obiectelor, a instrumentelor de masura: balantele, metrul, banii, etc. ; decupaje si asamblari de figuri geometrice; experimente asupra unor masuratori, cantariri etc.), la reprezentare grafica imagistica (probleme pe baza unor imagini cu concretizarea relatiilor intre marimi prin segmente, diagrame, sageti etc.), la descompunerea problemelor compuse in probleme simple, fara a fi rezolvate succesiv, deoarece nu acest fapt intereseaza, ci construirea rationamentului, legatura dintre secvente. 

In cadrul acestor activitati, elevii sunt dirijati sa sesizeze mersul rationamentului si sa invete sa elaboreze tactica si strategia solutionarii prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.

Examinarea unei probleme compuse se realizeaza, de obicei, prin metodele analitica, sintetica sau folosite simultan.

       Deosebirea dintre ele consta, practic, in punctul de plecare al rationamentului. Prin metoda sintezei se porneste de la datele problemei spre aflarea solutiei, iar prin metoda analizei se pleaca de la intrebarea problemei spre aflarea solutiei, iar prin metoda analizei se pleaca de la intrebarea problemei spre datele ei si stabilirea relatiilor matematice dintre acestea.

       Practica a demonstrat ca metoda sintezei este mai accesibila, dar nu solicita prea mult gandirea elevilor, uneori abatandu-le atentia de la intrebarea problemei.

      Metoda analitica pare mai dificila, dar solicita mai mult gandirea elevilor, determinandui sa priveasca problema in totalitatea ei.

Analiza logica a problemei, dupa repetarea si întelegerea enunțului, se realizeaza concomitent cu formularea orala a planului de rezolvare, urmate de consemnarea in scris a acestuia prin activitate frontala sau independenta, sub variate forme: de intrebari, titluri, enunturi succinte etc.

      Rezolvarea poate fi scrisa prin intercalarea intrebarilor din plan cu calculul, asigurand o estetica a asezarii in pagina, care ilustreaza legatura intre consemnarea succinta a datelor enuntului, a planului gandit si a calculului realizat, cu marcarea raspunsului obtinut si generalizarea prin transpunerea problemei in expresie numerica sau formula literala.

      Este oportun sa se rezolve nu mai mult de una-doua probleme intr-o ora de curs, insistand asupra rationamentului si investigand solutionarea pe mai multe cai, pentru exersarea flexibilitatii gandirii decat sa se exagereze cu solutionarea stereotipa, superficiala a mai multor probleme sau sa se consume timpul pentru o singura problema.

      Locul problemei in succesiunea secventelor instruirii trebuie bine ales, in functie de curba de efort la care este solicitat copilul si obiectivele stabilite.

      Este indicat sa se evite situatiile  in care problemele sunt planificate exclusiv la sfarsitul lectiei, lasand sarcina efectuarii lor complete in recreatie sau acasa.

      Procesul de gandire care are loc in scopul precizarii problemelor simple ce alcatuiesc o problema compusa si a succesiunii lor, astfel incat intrebarea ultimei probleme simple sa coincida cu intrebarea finala a problemei date se numeste examinare sau analiza a problemei.

                Ţinând cont de stadialitatea vârstei elevilor din ciclul primar, se poate afirmă că succesul în dobândirea cunoştinţelor de geometrie depinde în mod semnificativ de institutor, de felul cum acesta reuşeşte să conducă procesul predării-învăţării şi evaluării, de felul cum sunt orientaţi elevii să poată conştientiza, descoperi şi aplică prin transfer aceste cunoştinţe, priceperi şi deprinderi. Reuşită didactică a procesului predării-învăţării elementelor de geometrie este influenţată, chiar determinată în multele ei aspecte, de respectarea următoarelor cerinţe metodice analizate în continuare.

        Învăţarea noţiunilor de geometrie în special prin procese intuitive şi formarea lor iniţialã pe cale inductivă. Această cerinţă impune că studiul elementelor de geometrie să înceapă cu cercetarea directă (văz, pipăit, manipulare) a mai multor obiecte din lumea reală, situate în diverse poziţii în spaţiul înconjurător, în vederea sesizării (descoperirii) acelei (acelor) caracteristici comune care conturează imaginea geometrică materializată. Imaginea geometrică materializată în obiecte este apoi transpusă în imagine, concretizată prin desen, ceea ce reprezintă o detaşare a imaginii geometrice de obiectele care o generează. 

Concretizarea prin desen a imaginii geometrice se realizează la tablă cu instrumentele de geometrie, iar elevii o execută în caiete, tot cu ajutorul instrumentelor. Este foarte important că această concretizare prin desen să se facă în cât mai multe poziţii pentru a nu crea limite în recunoaşterea ei. Aceste concretizări pot fi completate cu prezentarea unor planşe întocmite special pentru această. Imaginea geometrică concretizată prin desen este apoi proiectată în limbajul geometriei şi apare astfel noţiunea geometrică.

          Pe baza limbajului geometric, şi prin apel la experienţa perceptivă a elevilor, institutorul va contura imaginea geometrică a noţiunii considerate şi în alte situaţii din realitatea exterioară clasei, altele decât cele cercetate de elevi. Se va observa, de asemenea, că, pe măsură ce sunt dobândite elementele fundamentale ale geometriei (punctul, dreapta), elevul va urca spre stadiul înţelegerii şi asimilării unor figure geometrice mai complicate (poligoane: dreptunghiul, pătratul, trapezul, triunghiul). 

          Alături de procesele intuitive (perceperea vizuală şi tactilă a modelelor materiale), respectiv concretizate de desen, predarea-învăţarea presupune şi acţiuni de măsurare efectivă a cestora, de comparare a rezultatelor, decupări de figuri, descompuneri ale figurii, prin figuricomponente ce le implică etc. Explicaţiile date de institutor referitor la aşezarea instrumentelor şi la poziţia din care trebuie făcută citirea rezultatului măsurării şi eventualele reluări ale procesului de măsurare, cu admiterea unor aproximări (la mm, în foaia de caiet), vor convinge elevii asupra valorii concluziilor obţinute de ei în lecţie pe baza figurilor studiate.

          Cu privire la instrumentele de geometrie (rigla şi echerul), trebuie avută în vedere necesitatea ca elevii să-şi formeze deprinderi de folosire corectă şi rapidă a acestora. Trasarea de drepte, segmente, unghiuri, drepte perpendiculare, drepte paralele, dreptunghiuri, pătrate, romburi etc., în diverse poziţii în plan (tablă, foaia de hârtie) şi realizarea de măsurări trebuie să fie executate cu precizie şi rapid.

          Referitor la desen, trebuie să se ţină cont de necesitatea efectuării lui numai cu instrumentele, atât la tablă, cât şi în caiete. Acurateţea desenului este o cerinţă importantă, la care se adaugă elementele de expresivitate, adică folosirea cretei colorate, trasări discontinue etc., pentru a pune în evidenţă anumite părţi ale figurii care prezintă interes în planul înţelegerii noţiunii geometrice. În utilizarea materialului didactic se impun atenţiei câteva condiţii, pe care trebuie să le îndeplinească atât modelul confecţionat, cât şi modul, în care este folosit de institutor şi elevi:

- materialul confecţionat va avea dimensiuni suficient de mari pentru a fi văzut cu claritate din orice punct al clasei, precum şi o construcţie clară, satisfăcând condiţiile estetice;

- materialul didactic trebuie să fie expresia fidelă a ceea ce trebuie să reprezinte, să contribuie la uşurarea transpunerii în desen a figurii geometrice studiate, a elementelor sale şi a relaţiilor ce există între ele (de mărime, de paralelism, de perpendicularitate etc.);

- materialul didactic trebuie să se adreseze elevilor respectând însă particularităţile lor de vârstă; cu cât aceştia sunt mai mici se impune că el să fie mai atractiv, dar simplu, amănuntele fără interes ştiinţific să nu între în câmpul atenţiei elevilor, rămânând elemente ale fondului perceptiv.                 

        Referitor la folosirea materialului didactic se mai impun şi alte câteva observaţii: -o insuficientă valorificare a acestuia duce la însuşirea formală a cunoştinţelor, influenţând negativ procesul formării reprezentărilor spaţiale;

- o folosire în exces a acestuia duce la o saturaţie perceptivă, la repetare de observaţii cu amplificări nefireşti, uneori chiar la observaţii inutile, ceea ce ar putea abate atenţia elevilor de la scopul observaţiilor şi intuiţilor, afectând modul de utilizare a timpului, producând greutăţi în realizarea generalizărilor, a însăşi imaginii geometrice.

        Deşi suportul de bază al predării-învăţării elementelor de geometrie în clasele I-IV este cel intuitiv, totuşi sistemul cunoştinţelor de geometrie asimilate de elevi trebuie să corespundă rigurozităţii geometriei. 

        Întâi, pentru că ele trebuie să reprezinte elemente corecte ale cunoaşterii matematice, servind elevului în orientarea şi rezolvarea problemelor de adaptare în spaţiul înconjurător. În al doilea rând, pentru că toate aceste cunoştinţe geometrice vor stă la baza continuităţii studiului geometriei în clasele următoare, servind treptat la formarea temeinică a conceptelor geometriei. 

        Intuirea punctului poate începe cu faza de concretizare prin desen, că fiind urma lăsată pe hârtie de vârful creionului bine ascuţit (vârful pixului sau al peniţei stiloului) aşezat să se sprijine în vârf, sau pe tablă de vârful cretei. De aici, copilul va înţelege că dreapta concretizată prin desen este formată din punctele, pe care vârful creionului (cretei etc.), sprijinit pe rigla şi aflat şi mişcare le lasă pe hârtie (tablă). 

        El va mai înţelege că segmentul concretizat prin desen este format din puncte, iar extremităţile lui sunt primul şi ultimul punct al concretizării. Limbajul geometric este definit prin două proprietăţi simple şi anume: corectitudinea şi consecvenţă folosirii lui. În acest sens, institutorul trebuie să utilizeze corect limbajul simbolic, nu va utiliza notaţii specifice, cu excepţia notarii prin litere a segmentelor, vârfurilor unui poligon (notaţia unghiului prin trei litere este în afara programei).

Etapele, pe care trebuie să le aibă în vedere institutorul în formarea unei noţiuni geometrice sunt următoarele:

- intuirea obiectelor lumii reale, care evidenţiază noţiunea cu dirijarea atenţiei elevilor către ceea ce se urmăreşte să fie observat;

- observarea proprietăţilor caracteristice evidenţiate de obiectele intuite;

- compararea şi analizarea proprietăţilor pe un material didactic care materializează noţiunea;

- reprezentarea prin desen a noţiunii materializate de obiecte şi materialul didactic;

- formularea definiţiei, prin precizarea genului proxim şi a diferenţei specifice, acolo unde este posibil, sau prin stabilirea proprietăţilor caracteristice care determina sfera noţiunii şi proiectarea acesteia în limbajul geometriei;

- identificarea noţiunii şi în alte poziţii, situaţii corespunzătoare realităţii;

- construirea materializată a noţiunii folosind carton, hârtie, beţişoare, etc;

- clasificarea figurilor care fac parte din aceeaşi categorie;

- utilizarea noţiunii în rezolvarea problemelor specifice şi transferul ei în situaţii geometrice noi.                  

        Este de menţionat că unele noţiuni geometrice impun parcurgerea tuturor acestor faze, pe când altele nu; unele noţiuni sunt realizabile într-o lecţie, pe când altele într-un şir de lecţii.               

       Adevăratul proces de formare a noţiunilor geometrice este unul de durata şi nu trebuie confundat cu procesul învăţării de noţiuni.

            Noţiunea de mărime, ce apare în sistemul predării-învăţării matematicii în ciclul primar este socotită că şi cea de mulţime o noţiune primară, înţelegerea ei făcându-se pe baza de exemple. Mărimile abordate începând cu clasa I sunt: lungimea, volumul (capacitatea vaselor), masă, timpul şi valoarea.

           A măsura o mărime oarecare, înseamnă a compară această mărime cu o altă, luată că unitate de măsură. Prin operaţia de măsurare se stabileşte un raport numeric între mărimea de măsurat şi unitatea de măsură considerată.De exemplu a măsură masă unui obiect înseamnă a o compară cu masă unui alt obiect, pecare îl vom consideră drept unitate de măsură. Elevii trebuie să fie conduşi să simtă necesitatea comparării mărimilor şi introduceriiunitatilor de măsură. Astfel, pentru a putea execută măsurările, elevii vor trebui învăţaţi sainteleaga conceptul de unitate de măsură şi cum să folosească instrumentele de măsură.

           Elevii vor înţelege că măsurările pe care le execută sunt asociate cu comparările pe care încearcă să le facă. Astfel, puşi în faţă situaţiei-problemă de a decide în care dintre două vase prezentate este un volum mai mare de apă, elevii vor încerca diverse rezolvări. Vor compara folosind o ceaşcă, un pahar, un vas de dimensiuni mai mici, stabilind astfel mai multe rezultate ale măsurării. Pe această baza vor înţelege cu mai multă uşurinţă necesitatea existenţei unei unităţi de măsură standard şi anume în cazul de faţă litrul (unitatea principala cu care se măsoară capacitatea vaselor).

           Înţelegerea măsurării şi a unităţilor de măsură nu implică întotdeauna introducerea imediataa unităţilor standard. Institutorul trebuie să utilizeze unităţile nestandard (de exemplu: palmă,creion etc.). După ce se exersează măsurarea unei mărimi cu o unitate nestandard, este importantsa se dea câteva date istorice legate de istoria măsurărilor, la noi şi în alte ţări, din care să reiasaca şi în procesul intensificării schimburilor economice şi ştiinţifice a rezultat că o necesitateunificarea unităţilor de măsură.

Predarea-învăţarea mărimilor şi unităţilor de măsură ale acestora vizează realizarea următoarelor obiective:

- cunoaşterea intuitivă a noţiunii de mărime prin prezentarea mărimilor des utilizate: lungime, volum, masă, timp;

- dezvoltarea motivaţiei la elevi pentru a realiza necesitatea introducerii unităţilor de măsură nestandard şi apoi standard pentru o mărime considerată;

- înţelegerea măsurării că o activitate de determinare a numărului care arată de câte ori se cuprinde etalonul în dimensiunea ce trebuie măsurată;

- formarea deprinderii de a măsură, a alege şi a utiliza unele unităţi de măsură nestandard şi de a cunoaşte unităţile principale pentru mărimea studiată;

- formarea şi dezvoltarea capacităţii de a cunoaşte şi a utiliza instrumentele de măsură;

- formarea capacităţii de a consemna, compară şi interpreta rezultatele măsurărilor;

- formarea capacităţii de a aprecia corect diversele mărimi din mediul ambiant;

- formarea deprinderii de a opera cu măsurile a două obiecte de acelaşi fel, atât prin acţiune directă, cât şi prin calcul;

                             Caracteristici generale ale predării-învăţării unităţilor de măsură:

- predarea este ciclică;

- se porneşte de la unităţi de măsură nestandard către cele standard;

- predarea învăţarea oricărei unităţi de măsură are un pronunţat caracter intuitiv şi participativ;

- se porneşte de la propria experienţă de viaţă a copiilor legată de mărimi şi măsură; -prin măsurători nestandard se ajunge la ideea necesităţii măsurării cu unităţi standard.

          Necesitatea măsurării este dată de necesitatea comparării (în acest caz) lungimilor celor două obiecte. Dacă obiectele sunt deplasabile (de exemplu.: două panglici), atunci compararea se poate face direct, prin aşezarea uneia peste cealaltă, astfel încât să aibă un capăt comun. Poziţia celui de-al doilea capăt indică obiectul mai scurt/lung. Dar dacă obiectele nu sunt deplasabile (de exemplu: două ferestre; lungimea şi lăţimea clasei)? Atunci trebuie să luăm “ceva”, să le măsurăm pe fiecare cu acel “ceva” şi să comparăm numerele obţinute ca rezultate ale măsurării. De fapt, introducem astfel o unitate de măsură nestandard, acel “ceva” constituindu-se într-un etalon arbitrar, subiectiv. 

         Să presupunem că intenţionăm să măsurăm lungimea unui ghiozdan, lăţimea unui caiet şi înălţimea unei vaze (utilizarea celor trei termeni – lungime, lăţime, înălţime – subliniază varietatea poziţiilor spaţiale ale obiectelor de măsurat). 

        La început, se poate utiliza ca unitate de măsură nestandard, de exemplu, lungimea unei agrafe de birou. În urma acţiunii efective cu obiectele, se constată că lungimea ghiozdanului este de 10 ori mai mare decât a agrafei, lăţimea caietului este cât 5 agrafe, iar înălţimea vazei este de 15 agrafe. Deci, măsurile lungimilor celor trei obiecte sunt: 10, 5 respectiv 15 (agrafe). 

       Dacă se schimbă unitatea de măsură, se vor schimba şi măsurile obiectelor. Înlocuind agrafa cu un creion, se constată că lungimea ghiozdanului este de două ori cât lungimea creionului, lăţimea caietului este cât lungimea creionului, iar înălţimea vazei este cât trei creioane. Deci, dimensiunile obiectelor au acum măsurile 2, 1 respectiv 3. 

      După astfel de experienţe se pot face şi observaţii funcţionale de tipul: creşterea lungimii etalonului conduce la micşorarea corespunzătoare a măsurii obiectului. 

      Desigur, ”instrumentele” de măsură a lungimii aflate cel mai la îndemână sunt:

- deschiderea palmei, lăţimea unui deget, lungimea braţului/braţelor, pasul. Utilizarea individuală a acestora întăreşte ideea că rezultatul măsurării se schimbă odată cu schimbarea unităţii de măsură. 

      Şi atunci, cum putem compara lungimile a două obiecte aflate în locuri diferite (clase diferite, şcoli diferite, localităţi diferite), unde nu dispunem de un acelaşi etalon? Răspunsul la această întrebare conduce la necesitatea introducerii şi utilizării unei unităţi standardizate (metrul), ce urmează a fi studiat în clasa a II-a (conform programei). 

       Predarea-învăţarea volumului şi masei se realizează în mod asemănător, cu menţiunea că terminologia utilizată la clasă nu poate fi identică cu cea ştiinţifică, astfel că sintagme de tipul “capacitatea vaselor” şi “cântărirea obiectelor” sunt mai apropiate de înţelegerea copilului. 

       Predarea-învăţarea timpului ridică probleme metodice deosebite, întrucât această mărime este abstractă şi deci mai puţin accesibilă elevilor, care nu o pot vizualiza şi intui direct, ca în cazul celorlalte mărimi. De aceea, predarea-învăţarea timpului se realizează în strânsă legătură cu acţiunile şi evenimentele în care elevii sunt implicaţi. Astfel, ora reprezintă durata unei lecţii (plus pauza), ziua durează de la un răsărit al soarelui până la alt răsărit. 

        O idee importantă ce trebuie urmărită este cea de succesiune/ simultaneitate a evenimentelor în timp. Elevii vor trebui să sesizeze, să compare şi să precizeze ordinea desfăşurării în timp a două (sau mai multe) evenimente, stabilind dacă unul are loc înaintea altuia sau se realizează în acelaşi timp. Curgerea timpului poate fi materializată prin întocmirea unei “benzi a timpului” (pentru o perioadă mai scurtă sau mai lungă) ori a unui calendar. 

        Chiar învăţarea unităţilor de măsură pentru timp va fi mai dificilă, deoarece între acestea nu există o relaţie de multiplicitate cu 10 (ca la celelalte trei mărimi anterioare), ci cu 60 (1 oră=60 minute, 1 minut=60 secunde) sau alţi factori (ex.:1 zi=24 ore, 1 săptămână=7 zile). 

        Şi în predarea-învăţarea timpului se evidenţiază nu numai legătura cu mediul, ci şi interdisciplinaritatea. „Citirea” orelor pe ceas poate fi precedată de realizarea la “abilităţi practice” a unui cadran din carton şi a acelor indicatoare, ce vor fi utilizate în activităţile de învăţare din lecţia de matematică.

      Introducerea, în clasa a IV-a, a noţiunii de fracţie reprezint ă prima lărgire a conceptului de număr. Elevii vor învăţa că noua mulţime numerică o include pe cea a numerelor naturale, prin înţelegerea faptului că o fracţie cu numitorul 1 reprezintă un număr natural.

      Formarea noţiunii de fracţie este un proces mai complicat, ce va conduce, în timp, la conceptul de număr raţional. Bazele psihopedagogice ale predării-învăţării fracţiilor sunt determinate de sporirea experienţ ei de viaţă şi didactice a elevilor, a maturizării lor cognitive, a lărgirii ariei cunoştinţelor lor matematice şi din alte domenii ale cunoaşterii. Demersul didactic trebuie să aibă traseul obişnuit în învăţarea la această vârstă: de la elementele acţionale, concrete, la cele de reprezentare iconică şi atingând nivelul abstracţiunii, prin elemente simbolice.

      Învăţarea fracţiilor în clasa a IV-a nu porneşte de pe un loc gol. În clasa a II-a, elevii au cunoscut termenii de jumătate (doime) şi sfert (pătrime), în legătură cu împărţirea unui număr la 2, respectiv la 4, lucruri ce pot fi valorificate în acest capitol. Astfel, ştiind că una din cele două părţi de aceeaşi mă rime în care a fost împărţit un întreg reprezint ă o doime, că una din cele 4 părţi de aceeaşi mărime în care a fost împărţit întregul reprezintă o pătrime, se pot aborda alte cazuri particulare, ce vor conduce la generalizarea ce defineşte unitatea fracţionară: o parte dintrun întreg care a fost împărţit în părţi la fel de mari. Elevii vor fi conduşi să intuiască întregul ca un obiect, o figură geometrică, o mulţime de obiecte sau imagini de acelaşi fel sau chiar număr.

      Date fiind experienţa matematică redusă a elevilor, capacităţile de abstractizare şi generalizare încă nematurizate, precum şi noutatea noţiunii , învăţarea acesteia parcurge mai multe etape:

1. etapa de fracţionare efectivă a unor obiecte concrete (măr, pâine, portocală ş.a.) şi de partiţie a unor mulţimi de obiecte concrete (nuci, creioane, beţişoare, jetoane ş.a.);
2. etapa de fracţionare prin îndoirea unor figuri geometrice plane care au axe de simetrie (pătrate, dreptunghiuri, cercuri);
3. etapa de fracţionare prin trasarea unor linii pe un desen geometric dat, pe care-l împart în părţi la fel de mari (axe de simetrie ale unui pătrat, dreptunghi, cerc ş.a) sau fracţionarea unor imagini de obiecte (trasarea unor linii pe imaginea unui măr, a unei clădiri ş.a)
4. etapa de fracţionare a numerelor, reductibilă la împărţirea acestora la un număr dat (2, pentru aflarea unei doimi; 4, pentru aflarea unei pătrimi ş.a.m.d.)

      În cadrul fiecărei etape se va evidenţ ia unitatea fracţionară şi se va sublinia faptul că întregul a fost împărţit în părţi la fel de mari.

      Se introduce apoi noţiunea de fracţie, ca fiind una sau mai multe unităţi fracţionare şi scrierea/citirea acesteia. Pentru ca elevii să reţină mai uşor denumirile celor doi termeni ai unei fracţii, se poate preciza că numitorul „numeşte” unitatea fracţionară (de exemplu, 2 – întregul a fost împărţit în două părţi la fel de mari, numite doimi), iar numărătorul “numără” câte unităţi fracţionare formează fracţia dată. În citirea unei fracţii se va urmări ca exprimările elevilor să fie complete şi corecte (ex. 3/4 = trei pătrimi şi nu „3 pe 4”sau „3 supra 4”), pentru a conştientiza noţiunea de fracţie, evitând formalizări ce nu spun nimic elevului din clasa a IV-a. De asemenea, din punct de vedere metodic, se recomandă folosirea unei fracţii ai căror numărători/numitori sunt numere mai mici decât 10.

                                  Compararea unei fracţii cu întregul

       Următoarele informaţii pe care şi le pot însuşi elevii se referă la tipurile de fracţ ii date de compararea cu întregul (subunitare, echiunitare, supraunitare). Prin acţiune directă cu obiecte sau cu imagini, aceştia constată că dacă numărătorul fracţiei este mai mic decât numitorul, trebuie luate în considerare mai puţine unităţi fracţionare decât are întregul în cazul dat (ex.: pentru fracţia ¾, întregul a fost împărţit în 4 părţi la fel de mari şi s-au luat în considerare doar 3 dintre ele), deci fracţ ia reprezintă, în acest caz, mai puţin decât un întreg, numindu-se subunitară.

      Dacă numărătorul fracţiei este egal cu numitorul, atunci se iau în considerare toate unit ăţile fracţionare ale întregului, deci tot întregul, fracţia reprezentând, în acest caz, chiar întregul şi numindu-se echiunitară. Dacă numărătorul fracţiei este mai mare decât numitorul, elevii constată că nu sunt suficiente unităţi fracţionare ale întregului şi este necesară considerarea încă unui întreg (sau mai mulţi) de acelaşi fel, pentru a obţine fracţia. Fireşte, în acest caz, fracţia reprezintă mai mult decât un întreg şi se va numi supraunitară. Treptat, concretul reprezentat de obiecte sau imagini va dispărea şi elevii îşi vor forma priceperea de a sesiza tipul fracţiei, prin simpla comparare a numărătorului cu numitorul.

                                                                 Fracţii egale

       Fracţiile egale sunt definite ca fiind fracţiile ce reprezintă aceeaşi parte dintr-un întreg sau din întregi identici. Această definiţie nu poate fi asimilată de elevi decât prin intuirea unor situaţii particulare. Astfel, se poate cere elevilor să plieze o foaie de hârtie dreptunghiulară astfel încât să obţină două părţi la fel de mari, apoi să haşureze/coloreze într-un anumit mod, una dintre părţi (deci, 1/2).

      Apoi se cere plierea aceleiaşi foi astfel încât să se obţină patru părţi la fel de mari şi să se haşureze/coloreze într-un alt mod, două părţi (deci, 2/4). Se compară apoi părţile haşurate/colorate, constatându-se că reprezintă aceeaşi parte din întreg, motiv pentru care vor fi numite fracţii egale şi se va scrie 1/2 = 2/4.

      Acţiunile de acest tip ar putea continua, elevii descoperind că 1/2 = 2/4 = 4/8, ceea ce constituie un prim pas în sesizarea proprietăţii de amplificare (înmulţirea atât a numărătorului cât şi a numitorului cu un acelaşi număr nenul), ce reprezintă şi o modalitate de obţinere a fracţiilor egale cu o fracţie dată. Analiza şirului de egalităţi scrise în ordine inversă (4/8 = 2/4 = 1/2) sugerează proprietatea de simplificare a fracţiilor (împărţirea atât a numărătorului cât şi a numitorului cu un acelaşi număr nenul).

                                                        Compararea a două fracţii

      Problema comparării a două frac ţii apare imediat după problema egalităţii: dacă fracţiile nu sunt egale, trebuie stabilit care dintre ele este mai mică/mare.

      În acest fel se va introduce o relaţie de ordine în mulţimea fracţiilor. La clasa a IV-a, sunt abordate doar două situaţii în compararea fracţiilor:

1. fracţiile au acelaşi numitor;
2. fracţiile au acelaşi numărător.

     Primul caz nu ridică probleme metodice deosebite, elevii intuind cu uşurinţă că, fracţiile având acelaşi numitor, „părţile” (unităţile fracţionare) sunt la fel de mari, deci va fi mai mică fracţia cu numărătorul  mai mic, deoarece se iau mai puţine unităţi fracţionare.

     Pentru compararea fracţiilor care au acelaşi numărător, elevii trebuie să înţeleagă că, împărţind  un întreg în părţi (egale) mai multe, părţile vor fi mai mici. 

     Această  aserţiune  poate  fi  intuită  cu  uşurinţă  prin  prezentarea problematizată  a unei situaţii de tipul: Avem două prăjituri egale, una împărţită în două părţi (egale), cealaltă în trei părţi (egale); pe care bucată ai alege-o şi de ce? În acest fel, elevii pot realiza că 1/2 > 1/3 şi prin abordarea altor cazuri particulare, că 1/2 > 1/3 > 1/4 >…, adică, dintre două unităţi fracţionare diferite este mai mare cea cu numitorul mai mic.

      În acest context este mai uşor pentru elevi să ordoneze descrescător mai multe unităţi fracţionare diferite. După asimilarea faptului că 1/2 > 1/3, se deduce imediat că 1/3 < 1/2 şi prin inducţie, se ajunge la regula ce permite ordonarea  crescătoare a unităţilor fracţionare: dintre două unităţi fracţionare este mai mică cea care are numitorul mai mare.

În etapa următoare se consideră nu câte o unitate fracţionară, ci mai multe (dar tot atâtea din fiecare întreg!), adică fracţii cu numărători egali. Cunoscând faptul că o pătrime reprezintă mai mult decât o cincime (din acelaşi întreg sau din doi întregi egali), elevii intuiesc cu uşurinţă că dacă se iau câte 3 asemenea părţi  

                                                                 Operaţii cu fracţii

        Adunarea şi scăderea fracţiilor cu acelaşi numitor) nu ridică probleme metodice deosebite deoarece, în această etapă, elevii pot discrimina cu uşurinţă tipul de problemă simplă întâlnit, iar partea calculatorie este corect intuită, după utilizarea unui desen sugestiv şi a unor exprimări neformalizate (de tipul: două cincimi + o cincime =?, trei cincimi – două cincimi =?). Se ajunge astfel la regulile cunoscute: pentru a aduna/scădea două fracţii cu acelaşi numitor se adună/scad numărătorii, numitorul rămânând neschimbat.

        În perspectiva simetriei relaţiei de egalitate, pentru cultivarea reversibilităţii gândirii elevilor este necesară abordarea unor sarcini de tipul scrierii unei fracţii ca o sumă/diferenţă de fracţii având acelaşi numitor (ex. 3/5 = 1/5 + ; 5/6 = /6 + ; 6/7 = +  şi analog pentru scădere). Mai menţionăm că, la nivelul trunchiului comun al programei, este suficient să se opereze cu fracţii subunitare, deoarece utilizarea celorlalte tipuri de fracţii (echiunitare, supraunitare) ar atrage după sine o altă problemă: scoaterea întregilor din fracţie.

       O eventuală extindere la cazul adunării/scăderii fracţiilor cu numitori diferiţi este posibilă doar în situaţia în care elevii au capacitatea de a obţine fracţii egale cu o fracţie dată (vezi amplificarea) şi de a o alege pe cea utilă. Poate fi abordat cazul în care unul dinte numitori este numitorul comun al fracţiilor date (de exemplu, 2/5 + 1/10, 3/4 – 1/2, 2/3 – 4/9).

                                                    Aflarea unei fracţii dintr-un întreg

       Aflarea unei fracţii dintr-un întreg trebuie realizată metodic în două etape:

1. aflarea unei (singure) unităţi fracţionare dintr-un întreg;
2. aflarea unei fracţii (mai multe unităţi fracţionare) dintr-un întreg.

       Prima etapă se parcurge apelând mai întâi la intuiţie, prin utilizarea unui material didactic tridimensional (obiecte) şi plan (imagini, figuri). Problema aflării unei doimi dintr-un astfel de întreg este transpusă cu uşurinţă de către elevi în plan operaţional, la împărţirea acestuia în două părţi egale. 

       Prin inducţie se ajunge la concluzia că aflarea unei unităţi fracţionare dintr-un întreg este reductibilă la împărţirea acestuia în atâtea părţi egale cât arată numitorul. Apoi se află unităţi fracţionare din întregi ce reprezintă mase, lungimi, volume, cantităţi (ex.: 1/2 din 10 kg, 1/3 din 9m, 1/4 din 12 l), reţinând ideea: împ ărţire (în părţi egale). De aici, se trece la aflarea unei unităţi fracţionare dintr-un număr (1/2 din 10, 1/3 din 9, 1/4 din 12), subliniind procedeul: împărţire.

Parcurgerea celei de-a două etape (aflarea unei fracţii dintr-un întreg) presupune doi paşi:

- aflarea unei singure unităţi fracţionare de tipul indicat de numitor şi apoi aflarea fracţiei respective din întreg. 

De exemplu, problema aflării a 3/4 din 12 este reductibilă la: aflarea unei pătrimi din 12 (ceea ce elevii ştiu) şi constatarea că 3 astfel de părţi (pătrimi) înseamnă de 3 ori mai mult decât una singură (deci înmulţire cu 3).

După rezolvarea mai multor cazuri particulare se sintetizează modul de lucru în regula:

- pentru a afla cât reprezintă o fracţie dintr-un număr (natural), împărţim numărul la numitorul fracţiei şi înmulţim rezultatul cu numărătorul.

      Din punct de vedere metodic, această ultimă etapă poate fi parcursă, funcţie de particularităţile clasei, trecând prin fiecare dintre fazele concretă, semiconcretă şi abstract ă sau numai prin ultimele/ultima. Considerăm că elevii şi-au însuşit procedeul aflării unei fracţii dintrun întreg, dacă vor avea capacitatea să gândească şi să exprime (oral sau scris) de tipul 3/4 din 12 = 12 : 4 x 3.